两个固定的空间点形成了一条直线，但如果一点是固定的，另一点是运动的，而且满足这个点到固定点的距离一直保持不变，那么这个点的轨迹就会是一个圆。

也就是说“圆”是一个动点到另一个定点的距离为定值的所有点的集合。

如图描述的就是一个动点A（x，y）运动的轨迹，它到定点O（0，0）的距离一直等于4。

这里用动点的轨迹定义圆，其实标志着从平面几何的定量研究时代进入了引入变量关系的解析几何时代。

在没有引入坐标概念之前，对于圆的描述，数学家们用圆心（也就是固定不动的那个点），半径（也就是动点到圆心之间保持不变的距离），来描述圆的大小。

这种描述偏重于用点的集合定义圆，没有变量的概念，也当然并不清楚变量之间的关系，但是，因为这种图形的特殊性，数学家们对它的周长，面积，弧长、弦长，以及各种圆之间的关系等做了“极致”的研究，对，应该可以用极致这个词来描述对圆这个图形所做的研究。

但随着坐标系的引入，对于图形的研究进入了变量阶段，人们发现，圆其实是满足一种双变量关系的点的轨迹，就是如果一个点A(x,y)，它的两个变量之间一直满足

那这个点的轨迹就是以坐标原点为圆心，以r为半径的圆。

推广开来，假如一个点A(x,y)，和另一个点（a，b）之间，满足这样一种关系式：

那么点A的轨迹就是以点（a,b）为圆心，以r为半径的圆。

这两种定义看似没啥区别，可点的集合定义和点的轨迹定义之间，整整差了好几千年。

从定量的研究到变量的引入，体现的是数学抽象化的进步，使得一个个原来必须画出来才明白的具象的图形，变得可以用代数式来表达。

更进一步的是，可以通过代数式的运算，使得图形的变化完全可控，这一点对现代工业科技的发展影响巨大。

这也是为什么所有和理工沾边的学科，无论如何必须首先学习数学的原因。

用数字运算控制复杂实体，在没有变量引入的解析几何之前，是不可能做到的。

好，继续回到我们的“圆”。

我们用“方程”这个词来描述点的轨迹，方程的本意是等量关系，英文“equation”，不知道当初为啥翻译成方程，方程和等量关系似乎挨不着边吧？但是既然大家一直这么叫 ，咱们就一直这么用吧。

这个双变量的等量关系告诉我们这么几个事实：

1、 圆的圆心决定了圆在二维平面的位置，因为点的坐标（a,b）决定了点和原点之间的位置关系。

2、 半径是常量，只要这个常量确定，圆心确定，动点A在坐标系中的x和y 的关系就确定下来

3、 在圆上的所有点的横纵坐标，都满足上述等式，没有例外。

在圆以内的所有点，它们和圆心之间的距离，肯定小于半径。

在圆以外的所有点，它们和圆心之间的距离，肯定大于半径。

上述几点描述，因为是常识，看似废话连篇，对于考试好像没啥大的用处，但是，等你工作之后，如果要做工业设计的话，你会发觉，这些变量的表达式，是必须首先写入程序的。

越是常识的东西，越要搞清楚它的来源和它的去处，我们的思维才能够继续有目的的前行，不会被额外信息干扰，否则，进入旁门左道，就会思维混乱，钻入死胡同出不来也是有可能的。

圆和直线、圆和圆之间的相互关系，以及它们的方程如何表达这种关系，我们下回书接着聊。

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